11 Ağustos 2009 Salı

İyi Sıralama Prensibi

Pozitif tamsayıların bazı sonuçlarının ispatında "iyi sıralama prensibi" (İSP) kullanılır.İfadesi şöyle:

"Pozitif tamsayıların boştan küçük her altkümesinin bir "en küçük elemanı" vardır.

Klasik bir ispatla örneklendirelim:

"√63 irrasyoneldir."

İspat: Kabul edelim ki √63 rasyonel olsun.Bu durumda; √63 = a/b olacak şekilde a ve b pozitif tamsayıları bulunur.

Doğruluk Kümesi : S = {k√63 : k,k√63 pozitif tamsayı} olsun.S boş kümeden farklıdır.(a=√63.b seçilebilir)ve S nin tüm elemanları pozitif tamsayıdır ve İSP gereğince bir en küçük s=t√63 elemanı vardır.

s√63-s = (s-t)√63

yazılabilir.s√63=63t ve s tamsayı olduğundan;

(s-t)√63 de bir tamsayıdır.Öte yandan;
s√63-s=s(√63-1) ve √63>1 olduğundan s√63-s de pozitiftir.Buradan;

s√63 - s < s (s=t√63, s√63=63t ve √63<63)

elde edilir.Bu s nin en küçük seçilmesiyle çeliştiği için varsayımımız; yani √63 nin rasyonelliği yanlıştır.Buna benzer olarak, √2,√3,√5 gibi reel sayılarında irrasyonel olduğunu kanıtlayabilirsiniz.

Benzer Yazılar



0 yorum:

Yorum Gönder