11 Ağustos 2009 Salı

8.Uluslararası Matematik Olimpiyatı Soruları (1966)

En azından Türkçe olarak internette ilk defa bulabileceğiniz sorular bunlar...Zaman bulursam, çözümlerini de eklemeye çalışacağım...

1)Bir matematik yarışmasında A,B,C problemleri veriliyor.Adaylar arasında en az bir problemi çözen 25 öğrenci vardır.Bütün yarışmacılardan A problemini çözemeyenlerden B yi çözenlerin sayısı, C yi çözenlerin sayısının iki katıdır.Yalnızca A problemini çözenlerin sayısı A yı ve en az bir başka problemi çözenlerin sayısından bir fazladır.Bütün öğrencilerden bir problem çözenlerin yarısı A problemini çözemedi.kaç öğrenci yalnızca B problemini çözmüştür?

2)Bir üçgenin kenar uzunlukları a,b,c ve bu kenarlar karşısındaki açılar sırasıyla x,y,z olsun.Eğer;

a+b=tan(z/2) . (a.tanx + b.tany)

ise üçgenin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.

3)Bir düzgün dörtyüzlünün dışına çizilen kürenin merkezinin köşelere olan uzaklıkları toplamının, uzayda herhangibir noktanın bu köşelere olan uzaklıkları toplamından daha küçük olduğunu ispatlayınız.

4)Her n doğal sayısı ve her x≠kπ/2^t , [(t00,1,...,n), k bir tamsayı] gerçel sayısı için;

1/sin2x + 1/sin4x + ... + 1/sin(2^n)x = cotx - cot(2^n)x

olduğunu ispatlayınız.

5)a1,a2,a3,a4 dört farklı gerçel sayı olmak üzere, aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.

Ia1-a2I.x2 + Ia1-a3I.x3 + Ia1-a4I.x4 = 1
Ia2-a1I.x1 + Ia2-a3I.x3 + Ia2-a4I.x4 = 1
Ia3-a1I.x1 + Ia3-a2I.x2 + Ia3-a4I.x4 = 1
Ia4-a1I.x1 + Ia4-a2I.x2 + Ia4-a3I.x3 = 1

6)ABC üçgeninin BC,CA,AB kenarları üzerinde sırasıyla herhangi K,L,M noktaları seçilmiştir.AML,BKM,CLK üçgenlerinin alanlarından en az birinin ABC üçgeninin alanının dörtte birine eşit veya küçük olduğunu ispatlayınız.

Benzer Yazılar



0 yorum:

Yorum Gönder